Sistemas de equações do 1º grau

Sistema de equações de 1º grau

Método da substituição

Carlos Alberto Campagner*

Duas equações do 1º grau , com duas incógnitas formam um "sistema de equações". O método da substituição é um dos mais recomendáveis para resolvê-lo.

Imagine uma classe com 36 alunos em que o número de meninos seja 3 vezes maior do que o de meninas.

Em primeiro lugar, é preciso tentar equacionar o problema. Suponha que x seja o número de meninos e que y seja o número de meninas. O total, você já sabe, é 36. Portanto:




Mas o número de meninos é 3 vezes o das meninas, ou seja:




Você tem, então, duas equações que formam um sistema:




Como se sabe o valor de x, é possível substituir esse valor na primeira equação. Veja:




A primeira equação, então, fica assim:




Somando-se os termos em y:




O que eram duas equações e duas incógnitas virou uma só!

Para resolvê-la é só realizar a seguinte operação:




Com isso, conclui-se que o número de meninas é 9, mas e o número de meninos?

De volta à segunda equação:




Resposta: Há 27 meninos e 9 meninas nesta classe.

Método da adição

A mãe do Paulo comprou 4 canetas e 1 lápis. Pagou um total de R$ 13,90. O pai da Marina foi à mesma loja e pagou por 2 canetas e 1 lápis R$ 7,50. Qual o valor de cada lápis e cada caneta?

De acordo com o enunciado acima, um sistema de equações pode ser montado.

Se x é o preço da caneta e y o do lápis, então:




Epa! Esse sistema é difícil de solucionar pelo método da substituição.

Então, analise as seguintes operações:




O que acontecerá com a soma dessas igualdades?




A soma da vertical é igual a da horizontal!




E o que acontecerá com a diferença dessas mesmas igualdades?




A diferença da vertical é igual a da horizontal!

Método da adição

Somando as duas equações têm-se:




Logo:




A caneta custa R$ 3,20 (essa já era uma equação de 1º grau)

E o preço do lápis?

Pode-se substituir o valor de x em qualquer das duas equações, na primeira fica:

4x + y = 13,9. Portanto, 4 . 3,2 + y = 13,9. Logo:




Diminuindo 12,8 de ambos os lados:







O preço do lápis é R$ 1,10.