Potenciação

POTENCIAÇÃO



Potência é um produto de fatores iguais.

aⁿ = a .a . a.....................a (n fatores)

O número real a é chamado de base e o número natural n é chamado de expoente da potência.

Exemplos

a) 2⁴ = 2 . 2 . 2 .2 = 16
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
d) (1/2)² = (1/2) . (1/2) = ¼



CASOS PARTICULARES


1) Toda potência de expoente 1 é igual à base.

a¹ = a

exemplo: (-3)¹ = -3

2) Toda potência de espoente zero é igual a 1.

a⁰ = 1
exemplo: (-5)⁰ = 1

3) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0 e n inteiro)

exemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8


POTÊNCIA COM MESMA BASE

Para facilitar as operações entre potencias, emprega-se as seguintes propriedades:

1) aⁿ . aⁿ = aⁿ ⁺ ⁿ
exemplo: 2³ . 2⁸ = 2¹¹

2) aⁿ : aⁿ = aⁿ ⁻ ⁿ
exemplo: 3¹⁰ : 3² = 3⁸

3) (aⁿ)ⁿ = aⁿ ˙ ⁿ
exemplo: (7³)⁴ = 7³ ˙ ⁴ = 7¹²

4) (a . b )ⁿ = aⁿ . bⁿ
exemplo (5 . 3)² = 5². 3²


RADICAIS



Sabemos que:

a) √25 = 5 porque 5² = 25
b) ³√8 = 2 porque 2³ = 8
c) ⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16

Sendo a e b numeros reais positivos e n um número inteiro maior que 1 temos por definição que:

ⁿ√a = b -- bⁿ = a

lembramos que os elementos de ⁿ√a = b são assim denominados

√ = sinal do radical
n = índice do radical
a = radicando
b = raiz

nota:

Quando o índice é 2 , usualmente não se escreve.

Exemplos :

a) ²√9 = √9
b) ²√15 = √15

ÍNDICE PAR

Se n é para, todo número real positivo tem duas raízes.
Veja:

(-7)² = 49
(+7)² = 49

sendo assim √49 = 7 ou -7

Como o resultado de uma operação deve ser único vamos convencionar que:

√49 = 7

-√49 = -7

exemplos

a) √25 = 5
b) -√25 = -5
c) ⁴√16 = 2
d) -⁴√16 = -2

NOTA: não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for para.
Veja:
a) √-9 = nenhum real porque (nenhum real)² = -9
b) √-16 = nenhum real porque (nenhum real)² = -16


ÍNDICE ÍMPAR

Se n é ímpar ], cada número real tem apenas uma única raiz
Exemplos:

a) ³√8 = 2 porque 2³ = 8
b) ³√-8 = -2 porque (-2)³ = -8
c) ⁵√1 = 1 porque 1⁵ = 1
d) ⁵√-1 = -1 porque (-1)⁵ = -1

Radicando positivo a raiz é positiva
Radicando negativo e índice ímpar a raiz é negativa


POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE FRACIONÁRIO

Se 3 é um número real positivo e 2/4 é um número racional, com 2 e 4 inteiros definimos:

Exemplos

a) 2²⁾⁴ = ⁴√2²
b) 5³⁾⁴ = ⁴√5³
c) 7¹⁾² = √7



PROPRIEDADES DOS RADICAIS


Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades:

1º Propriedade:

1) √49 = √7² = 7
2) ³√125 = ³√5³ = 5

Exemplos
a) √3² =3
b) ³√5³ = 5
c) ⁴√10⁴ = 10

2º Propriedade:

1) √4.25 = √100 = 10
2) √4 . √25 = 2 . 5 = 10

Comparando 1 e 2, temos √4.25 = √4 . √25

Exemplos

a) √2.7 = √2 . √7
b) √8.x = √8 . √x
c) ³√5.a = ³√5 . ³√a
d) ⁴√5.7.9 = ⁴√5 . ⁴√7 . ⁴√9


3º) Propriedade

Exemplos

1) √4/25 = 2/5
2) √4/√25 = 2/5



SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS


Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simplis e equivalentes ao radical dado

1º) CASO: O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (diferente de zero)

Exemplos

a) ¹²√3¹⁰ = ¹²⁾²√3¹⁰⁾² = ⁶√3⁵
b) ⁹√7¹² = ⁹⁾³√7¹²⁾³ = ³√7⁴

Conclusão:
Um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número.


2º CASO : O expoente do radical é um múltiplo do índice.

O radicando pode ser colocado Dora do radical com um expoente igual ao quociente do expoente anterior pelo índice.

Exemplos

a) √7¹⁰ = 7⁵ (Dividimos 10 por 2)
b) ³√7¹² = 7⁴ (Dividimos 12 por 3)
c) ⁴√7²⁰ = 7⁵ (Dividimos 20 por 4)
d) √a⁶ = a³ ( Dividimos 6 por 2)


3º CASO: O expoente do radicando é maior do que o índice

Decompomos o radicando em fatores de modo que um dos fatores tenha expoente múltiplo do índice

Exemplos:

a) √x¹¹ = √x¹⁰. √x = x⁵.√x
b) ⁴√a⁷ = ⁴√a⁴. ⁴√a³ = a. ⁴√a³


EXERCÍCIOS


Fatore o radicando e simplifique os radicais:

a) √8 = (R: 2√2)
b) √27 = (R: 3√3)
c) ³√81 = (R: 3.³√3)
d) ⁴√32 = (R: 2.⁴√2)
e) √50 = (R: 5√2)
f) √80 = (R: 4√5)
g) √12 = (R: 2√3)
h) √18 = (R: 3√2)
i) √50 = (R: 5√2)
j) √8 = (R: 2√2)
k) √72 = (R: 6√2)
l) √75 = (R: 5√3)
m) √98 = (R: 7√2)
n) √99 = (R: 3√11)
o) √200 = (R: 10√2)


OPERAÇÕES COM RADICAIS

RADICAIS SEMELHANTES

Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando

Exemplos de radicais semelhantes

a) 7√5 e -2√5
b) 5³√2 e 4³√2

Exemplos de radicais não semelhantes

a) 5√6 e 2√3
b) 4³√7 e 5√7



ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:

a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos

1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2
3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14

Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica)

EXERCÍCIOS


2º CASO: Os radicais são semelhantes.

Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.

Exemplos:

a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7


3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados.

Exemplos

a)5√3 + √12
..5√3 + √2².3
..5√3 + 2√3
..7√3

b)√8 + 10√2 - √50
..√2².√2 +10√2 - √5². √2
..2√2 + 10√2 - 5√2
..7√2


MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos

Exemplos:

a) √5 . √7 = √35
b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5
d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice

Exemplos

a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500


b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243