Equações Biquadradas

Equações Biquadradas

A resolução de equações e a criação de fórmulas que encontram suas soluções sempre foram objetos de estudo da matemática. Geralmente, as equações estão associadas a situações reais em que se deseja descobrir a melhor alternativa para a solução do problema. A famosa fórmula de Báskara trata-se de um modelo matemático para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, mas existe um grande número de equações que não apresentam fórmulas para resolvê-las.

Vamos analisar o procedimento para resolver uma equação biquadrada.

Definição: Equação biquadrada é toda equação do tipo ax⁴ + bx² + c = 0, com a ≠ 0.

Observe que a equação acima é um polinômio de grau 4, podendo ter até quatro raízes reais.

O método de resolução de uma equação biquadrada consiste em transformá-la numa equação do 2º grau, fazendo, para isso, uma mudança de variável. Após esse procedimento, utiliza-se a fórmula de Báskara para obtenção das soluções.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Resolva a equação x⁴ – 3x² – 4 = 0.

Solução: O objetivo inicial é transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Faremos, então, uma mudança de variável da seguinte maneira: x² = t.

Isso significa que na equação x⁴ – 3x² – 4 = 0 no lugar de x² colocaremos t. A equação original pode ser reescrita da seguinte forma:

(x²)² – 3x² – 4 = 0

Fazendo a mudança de variável, teremos:

t² – 3t – 4 = 0

Que é uma equação do 2º grau. Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos:

Como x² = t, temos que:
x² = 4 → x´= 2 ou x´´= -2
e
x² = – 1 → não existe solução real
Portanto, S = {– 2, 2}

Exemplo 2. Encontre as raízes da equação x⁴ – 10y² + 9 = 0.

Solução: Fazendo x² = t e substituindo na equação, obtemos:
t² – 10t + 9 = 0

Como x² = t, segue que:
x² = 9 → x´=3 ou x´´ = – 3
e
x² = 1 → x⁽³⁾ = 1 ou x⁽⁴⁾ = – 1
Portanto, S = {– 3, – 1, 1, 3}.

4x⁴ – 17x² + 4 = 0 → equação biquadrada

4(x²)² – 17x² + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: x² = y, isso significa que onde for x² iremos colocar y.

4y² – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.

a = 4 b = -17 c = 4

∆ = b² – 4ac
∆ = (-17)² – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225

x = - b ± √∆
2a

x = -(-17) ± √225
2 . 4

x = 17 ± 15
8

x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8

x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4

Essas são as raízes da equação 4y² – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x⁴ – 17x² + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x² = y.

Para x = 4
x² = y
x² = 4
x = √4
x = ± 2

Para x = 1
4
x² = y
x² = 1
4

y = ±1
2

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2