Expressões numéricas

Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem:

1) Potenciações e radiciações, se houver.

2) Multiplicações e divisões, se houver.

3) Adições e subtrações

Exemplo:

 

Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes e chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operações.

Exemplo:

a) 36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =

= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} =

= 36 + 2.{25 + [18 – 9]} =

= 36 + 2.{25 + 9} =

= 36 +2.34 =

= 36 + 68 = 104

b)

Potenciação

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

Exemplo
5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :
a) 7²= 7x7=49
b) 4³= 4x4x4=64
c) 5⁴= 5x5x5x5=625
d) 2⁵= 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado
O expoente 3 é chamado de cubo
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado
b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo
c) 5⁴Lê-se: cinco elevado a quarta potência
d) 2⁵ Lê-se: dois elevado a quinta potência



Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

exemplo
a) 8¹ = 8
b) 5¹ = 5
c) 15¹ = 15

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1
exemplo
a) 8º=1
b) 4º=1
c) 12º=1

Numeros Primos

Números primos são números que são divisíveis apenas por eles mesmos e pelo número 1. Nesse caso, consideraremos apenas resultados resultados. Por exemplo, o nove é divisível por 2, mas o resultado não é exato.

Como posso saber se um número é primo?

Basta dividir ele pelos números primos menores que ele. Se nenhum dos resultados for exato, então o número é primo.

O número 3 é primo?

Sim, pois ele só é divisível por 1 e 3.

O 2 também é um número primo.

Números primos de 1 a 20

2
3
5
7
11
13
17
19

Exemplo: O número 35 é primo?

Primeiramente devemos tentar dividir 35 por 2. O resultado não será exato. Agora tentaremos por 3. Novamente o resultado não será exato. Indo para a próxima opção, tentaremos por 5. O número 35 dividido por 5 é igual a 7. Logo, 35 não é número primo, pois não é divisível apenas por ele mesmo e por um.

MDC E MMC

MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )

O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 2².3²
1 2³.3.5

m.d.c ( 120, 36) = 2².3 = 12

O m.d.c também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.

120 - 36 2 ( * )
60 - 18 2 ( * )
30 - 9 2
15 - 9 3 ( * )
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 2².3 = 12

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C )

O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 2².3²
1 2³.3.5

m.m.c ( 120, 36) = 2³.3².5 = 360

O m.m.c também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.

120 - 36 2
60 - 18 2
30 - 9 2
15 - 9 3
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 2³.3².5 = 360

OBS: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b.

m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b

O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.

Criterios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Frações - Introdução

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

NUMERADOR /DENOMINADOR

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4,

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é o numero 4

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

1/2 - metade ou meio

1/3 - um terço

1/4 - um quarto

(...)

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.

Fração	Leitura
1/11	um onze avos
1/12	um doze avos
1/13	um treze avos
1/14	um quatorze avos
1/15	um quinze avos
1/16	um dezesseis avos
1/17	um dezessete avos
1/18	um dezoito avos
1/19	um dezenove avos

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Fração	Leitura	Leitura Comum
1/10	um dez avos	um décimo
1/20	um vinte avos	um vigésimo
1/30	um trinta avos	um trigésimo
1/40	um quarenta avos	um quadragésimo
1/50	um cinqüenta avos	um qüinquagésimo
1/60	um sessenta avos	um sexagésimo
1/70	um setenta avos	um septuagésimo
1/80	um oitenta avos	um octogésimo
1/90	um noventa avos	um nonagésimo
1/100	um cem avos	um centésimo
1/1000	um mil avos	um milésimo
1/10000	um dez mil avos	um décimo milésimo
1/100000	um cem mil avos	um centésimo milésimo
1/1000000	um milhão avos	um milionésimo

Frações - Introdução [2]

Frações Próprias

Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas FraçõesPróprias. Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador

exemplos :

1/2

1/4

2/3 (...)

Frações impróprias

Essas frações são maiores do que a unidade. São chamadas Frações Impróprias. Nas frações impróprias, o numerador é maior do que o denominador

ex :

7/4

5/3

(...)

Frações Aparentes

A fração aparente é aquele que a divisao entre o numerador e o denominador resulta em um numero inteiro

Exemplo:

12/3 = 4


Frações equivalentes

Sao frações com o mesmo resultado :

exemplos :

6/8 é equivalente a 3/4 ( repare que 6/8 é o dobro do numerador e denominador de 3/4 )